Ja, guten Morgen zusammen.

Fangen wir an.

Genießen Sie erstmal das wunderschöne BIMA-Bild.

Es gibt noch technischen Fortschritt anscheinend.

Gut, fassen wir kurz zusammen, was wir das letzte Mal gesehen haben, um dann heute dieses

Kapitel, was noch im direkten Zusammenhang mit Eigenwerten steht, abzuschließen und uns

dann mehr geometrischen Fragen zuzuwenden.

Wir haben also gesehen, das wussten wir im Prinzip schon, es gibt einen ganz engen Zusammenhang

zwischen quadratischer Minimierung und dem Lösen eines Gleichungssystems, wenn die Matrix

selbst adjungiert ist.

Dann haben wir eine Äquivalenz zwischen der Minimierung eines quadratischen Funktionals

und der Lösen eines Gleichungssystems, wobei die Matrix eben diejenige ist, die den quadratischen

Anteil bestimmt und die rechte Seite diejenige ist, die den linearen Anteil bestimmt.

Das ist uns im Prinzip bekannt, seitdem wir uns erstmals mit orthogonaler Projektion beschäftigt

haben und wird noch umso deutlicher dadurch, wenn man sich dann überlegt, dieses quadratische

Funktional, was ursprünglich eben mal bei der orthogonalen Projektion aus der Frage

der Abstandsminimierung bezüglich einer von einem Skalarprodukt erzeugten Norm entstanden

ist, das ist sozusagen das allgemeine Bild.

Also wir können immer eine Norm finden, das ist eben die von A erzeugte Energienorm und

immer ein Element, was wir projizieren wollen, das ist genau die Lösung eben dieses Gleichungssystems

und damit wird im nicht restringierten Fall noch mal klar, natürlich ist dann das Minimum

Null und wird genau an dieser Lösung angenommen.

Okay, der nächste Schritt war Einschränkungen mit aufzunehmen, lineare Gleichungseinschränkungen,

das heißt also in diesem Sinne projizieren wir nicht diese Lösung nicht auf den ganzen

Raum, wo sie trivialerweise ist, wie das sich selbst ergibt, sondern wir projizieren sie

auf einen affinen Unterraum, der durch die Gleichung indefiniert wird und da hatten wir

gesehen, das können wir dann auch über ein Gleichungssystem beschreiben, aber eben nicht

das Original Gleichungssystem, denn da kommen neue Variablen, die Lagrange-Multiplikatoren

ins Spiel.

Das heißt also wir können diese Ungleichungen letztlich loswerden, für den Preis ein größeres

Gleichungssystem zu betrachten, was ein bisschen unangenehmer ist als ein Gleichungssystem,

was nur durch eine definierte Matrix definiert wird.

Besonders schön kann man das dann mit dem Lagrange-Funktional ausdrücken, wo dann die

Ungleichungen einfach über den Lagrange-Multiplikator angekoppelt sind.

Wir haben insbesondere gesehen, es gibt auch ein duales Problem nur für den Lagrange-Multiplikator,

das den Vorteil hat, dass dann keine Gleichungseinschränkungen, überhaupt keine Einschränkungen dann mehr

da aktiv sind.

Der nächste Aspekt, den ich dann heute abschließen möchte, ist die Frage oder die Tatsache,

dass man auch Eigenwerte und darauf aufbauend dann auch Singulärwerte charakterisieren

kann durch Extremalaufgaben.

Wir sehen hier nochmal den Satz in seiner vollen Schönheit formuliert, den wir jetzt

im Folgenden gleich beweisen werden.

Den einen darin enthaltenen Spezialfall haben wir schon gezeigt.

Es geht also jetzt hier um folgende Situation.

Wir haben einen selbstadjungierten Operator, selbstadjungierte Matrix, das heißt wir haben

reelle Eigenwerte, die nicht notwendigerweise positiv sein müssen natürlich, aber sie

sind reell, wir können sie uns angeordnet vorstellen und die Anordnung soll hier so

sein, dass Lambda 1 der größte und Lambda n der kleinste ist.

Oft wird es auch andersrum gemacht, wenn Sie den ähnlichen Satz in einem Lehrbuch

nachschauen, müssen Sie aufpassen, da ist vielleicht die Anordnung gerade andersrum